Развитием модели «нащупывания» состояния равновесия является

модель функционирования рынка, построенная на базе

итерационного метода решения задач выпуклого программирования,

суть которого состоит в следующем: рассматривается

задача максимизации выпуклой вверх функций п переменных

/(хь . . . , * , , . . . , * „ ) -> max

при условиях

gi(xl,..., xj,..., хп) > О (/ = 1,..., т)

xj>0 (у = 1,...,«),

где функции gj(x), x = (х\9 ..., хп) также выпуклые.

Неотрицательной седловой точкой функции Лагранжа

т

Цх, и) = f(x) + X>/g/(x),

/=1

где щ — множители Лагранжа (двойственные переменные), называется

точка (5с, и ), для которой выполнены соотношения:

L(x, и) < L(x, и) < Цх, и),

для всех х > 0; и = (щ, ..., ит) > 0.

Справедлива следующая теорема (Куна—-Таккера).

Если: l)f(x), gi(x) > 0 (/ = 1, ..., т) — выпуклые функции

при х> 0, 2) существует вектор х°, такой что gi(x°) > 0

(/= 1, ..., т), то вектор х будет оптимальным решением сформулированной

выше задачи максимизации тогда и только тогда,

когда существует такой вектор и, что (х, и) является неотрицательной

седловой точкой функции Лагранжа L(x, и).

Таким образом, решение задачи максимизации сводится к

нахождению седловой точки функции Лагранжа, которое в свою

очередь осуществляется путем применения следующего итерационного

процесса (К. Эрроу, Л. Гурвиц):

Xj(t +1) = max JO; Xj(t) + ay

и jit + 1) = max JO; uj(t) - Py*y(x(0)}.

|-мф(,)|Ч>

Здесь / — номер итерации.

Начальные значения xj(0) (/ = U ••-, я); w/(0) (/= 1, ..., m)

предполагаются известными (заданными) числами. Присутствие

знака max обеспечивает неотрицательность переменных в ходе

реализации итерационного процесса.

Положительные величины cty, р,- называются параметрами настройки

и должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы

обеспечить устойчивость процесса. Применяются различные

правила для фиксации момента окончания итерационного процесса.

В качестве основных используется как критерий совпадения

вида

D(t)= Uпx j(t + l)-xj(t) 2

< $ ,

где t, — достаточно малое число, так и задание определенного

числа (Г) итераций, после чего полученные значения

Xj(T) 0 = 1,..., л); щ{Т) (/ = 1,...,т)

считаются координатами искомой седловой точки. При этом

вектор х = (3q,..., хп) есть решение задачи максимизации, а

вектор и = (щ,..., ит) характеризует сравнительную важность

ограничений оптимизационной задачи.

Рассмотрим сложную экономическую систему, состоящую из

потребительского сектора, производственного сектора и сектора

ресурсного обеспечения.

Пусть потребительский сектор представлен единой функцией

полезности

U(x) = U(xi9...9xj9...9xn)9

где х = (х\, ..., хп) — набор потребляемых благ, которую он

стремится максимизировать.

Производственный сектор состоит из п предприятий (производств)

(у = 1, ..., п)9 каждое из них производит один продукт (в

количестве yj) и все они производят различные продукты. Уровень

производства определяется производственной функцией:

yj = fj(rji> •••> rjh--->rjs)>

где у (/= 1, ..., s) — объемы используемых производственных

ресурсов.

Ресурсный сектор определен объемами ресурсов (труда, капитала,

земли, энергетики и т.д.) R/ (/ = 1, ..., s), предназначенных

для использования в производственном секторе. При этом

имеют место соотношения

trj!<Rl (/=1,...,5).

7=1

Состояние равновесия в широком смысле в рассматриваемой

системе определяется как следующее соотношение между спросом

(XJ) и предложением (yj) для всех видов благ

Xj <yj (j = 1, ...,Л).

В дальнейшем будем исходить из того, что функция полезности

U(x) и все производственные функции fj(rj) (у = 1> •••> п)

являются выпуклыми. В этом случае задача о нахождении со-

стояния равновесия может быть сформулирована как задача

выпуклого программирования:

найти

max U(x\,..., xj,

при условиях:

1)/)(/}')-*у* 0 0 = 1,..., п),

где/}= (rji, ..., rJs);

*п)

О)

2 ) Л / - 2 > ; / * 0 (/ = 1, ...,*), (2)

3)х;>0 0 = 1,..., л); гу/^0 (у = 1,...,«;/= 1,..., 5).

Как было показано выше, решение этой задачи в свою очередь

сводится к отысканию неотрицательной седловои точки

функции Лагранжа

Ы - S ( П \

fjirj) - Xj\ + Е щ Ri - Zov >

y=i /=1 V 7=1 )

где /I = (р\, ..., Pj, ..., рп) — вектор множителей Лагранжа, соответствующих

производственным ограничениям (1). Эти величины

имеют смысл цен на различные виды продукции;

w= (и>ь ..., wj, ..., wn) — вектор множителей Лагранжа, связанных

с ресурсными ограничениями (2). Компоненты этого вектора

представляют собой оценки важности используемых в производстве

факторов. Например, ставка заработной платы выступает

как оценка трудовых ресурсов; стоимость услуг капитала

выражается оценкой капитальных ресурсов и т.д.

Условия первого порядка для отыскания седловои точки

(условия Куна—Таккера) имеют вид

\)Xj dL

dXi

ди „ = 0 (у = !,...,«);

2 ) / у / — = / у / Pj а - W/ 5=0 (У = 1, ...,«;/ = 1, ...,$);

3)Ру 5/»у

= ^у /у(?/)-ху] = 0 (у = 1,...,л);

4A.)~ wd/L • -— = -w/ О (l = l,...,s).

Условия первой группы имеют следующий экономический

смысл: если равновесный объем какого-либо блага (Xj) отличен

от нуля, то необходимо выполняется равенство

ди

dxj Pj>

которое совпадает с условием максимума функции полезности

потребителя в условиях ограниченного дохода (см. гл. I). Таким

образом, эти условия суть выражения оптимального поведения

потребителя. Заметим, что из требования максимальности

функции Лагранжа по переменным xj вытекает, что при xj = О

ди

dxj ^Pj>

т.е. предельная полезность неиспользуемого блага не превосходит

его цены в состоянии равновесия.

Условия второй группы состоят в том, что при 7ji > О, т.е. в

том случае, когда у-тое предприятие использует ненулевой объем

/-того ресурса, должно быть выполнено соотношение

~„ 8*j

р< ег л

= И>/,

которое может быть интерпретировано как необходимое условие

максимума прибыли /-того предприятия (см. гл. IV). Это

означает, что в состоянии равновесия осуществляется оптимальная

производственная программа для всех предприятий.

Если /-тый ресурс не потребляется нау-том предприятии, т.е.

7ji = 0, то из максимальности функции Лагранжа по гуу имеем

~ dfj . ~

drji

т.е. маргинальная продуктивность этого ресурса на у-том предприятии

не выше его цены (ресурс слишком дорог и относительно

малоэффективен).

Условия третьей группы характеризуют соотношения между

спросом и предложением всякого блага в состоянии равновесия.

Если цена блага pj > О, то необходимо выполнение равенства

XJ = / / ( 0 ) = ^ ,

т.е. имеет место равенство спроса (xj) и предложения (yj)

этого блага. Если же равновесная цена pj = 0, то из требования

минимальности функции Лагранжа по pj следует, что

xj <yj =fj(rj),

т.е. предложение блага (как правило) превосходит спрос на него.

Условия четвертой группы связаны с распределением ресурсов

между предприятиями и оценкой значимости этих ресурсов.

Если равновесная цена /-того ресурса iv/ > 0, то имеет место

равенство

которое свидетельствует о полном использовании запаса ресурса

(спрос на ресурс равен его предложению). Если же

if/ = 0, то из условия минимальности функции Лагранжа по

переменной if/ вытекает:

y=i

т.е. предложение ресурса не меньше, чем спрос на него.

Процедура отыскания неотрицательной седловой точки реализуется

путем конкретизации общего итерационного процесса,

представленного выше. Исходные значения фазовых переменных

xj(0y (у = 1,..., л),

0/(°) 0' = 1,..., л;/= 1, ...,*),

а также двойственных переменных (цен)

pj(0) (y = l,...,«); Н7(0) (/ = 1,...,*)

считаются известными. Последующие значения определяются

по формулам:

1) Xj(t + 1) = max JO; xj(t) + ay ди

dxj

(t)-pj(t) (J = !,...,«);

Pj(t)p-(t)-w,(t)

dr Л

2) ry/(/+ 1) = max 0;/,,(/)+ py,

(J = 1, . . . , « ; / = 1, ...,s);

3) />y(/ + 1) = max JO; />,(/) - уу[//(/>(/)) - *y(0]} C/ = 1, •••>«);

4) W[(t + 1) = max 0;w/(/)-8,

У=1

(/ = !,...,*).

Здесь положительные числа ay; Py/; у,-; 5/ являются параметрами

настройки. В качестве признака окончания расчетов обычно

используют либо фиксированное число итераций (Г), либо итерационный

процесс прекращается и равновесное состояние

считается найденным, если выполняется условие:

EY(t)= tpj(t)[yj(t)-Xj(t)]<^

где £ > 0 — заданное число; yj = fj{rjX,..., rjs) (j = 1,..., n).

Полезно привести также аналоги итерационных формул в

дифференциальной форме:

где 5Х! =

0, если xj = 0; Lx. < 0.

1, для всех остальных случаев;

2) % = S^O/ = Ч

dt

Vj -W/ (У = 1,...,я;/ = 1,...,д),

где 5rjl =

0,если rji = 0; Lri < 0.

1, для всех остальных случаев;

3)^T = -5PJLPJ -hj(fjW-*j) СУ-1 я),

ГО, если pj =0; Lp. > 0.

1, для всех остальных случаев;

где 8^. =

ди>/ (

4) -77" = -KtLwt = 5HJ Л/ - Zr 5Г y/

(/ = ! , . . . , * ),

где 5W/ =

у=1 У

0, если и>/ = 0; ZW/ > 0.

1, для всех остальных случаев.

Анализ приведенного итерационного процесса показывает,

что он достаточно точно имитирует рыночный механизм достижения

состояния равновесия при помощи изменения объемов

спроса на блага и ресурсы, а также путем варьирования соответствующими

ценами. Как видно, спрос потребителя на некоторое

благо возрастает до тех пор, пока предельная полезность его

превышает цену этого блага, которая, в свою очередь, возрастает,

если спрос оказывается больше предложения блага со стороны

производственного сектора. Подобным же образом регулируется

спрос производства на ресурсы: он возрастает, пока предельная

эффективность ресурса больше его цены, т.е. предприятие

имеет дополнительную прибыль от приобретения ресурса,

и рост прекращается, когда эта прибыль становится нулевой.

Цена ресурса также увеличивается, если спрос на него превышает

предложение со стороны ресурсного сектора, а при достижении

равенства спроса и предложения, цена становится неизменной.