1. В тех случаях, когда самостоятельное предприятие функционирует

в рыночных условиях, необходимо возникает вопрос

о наилучшем использовании собственных и заемных финансовых

средств для приобретения дополнительных количеств ресурсов,

которые могут применяться наряду с некоторыми фиксированными

факторами (например, зданиями, сооружениями,

машинами и т.п.). Математическая формулировка такой задачи

основана на разделении всех ресурсов на постоянные ресурсы,

запасы которых считаются заданными (bj) (/= 1, ..., т\), и нанимаемые

(арендуемые) ресурсы (/= т\ + 1, ..., т), запасы которых

определяются косвенным образом через сумму собственных

средств и кредита (К).

Рассмотрим ниже модели двух типов. В модели первого типа

все производственные процессы являются краткосрочными в

том смысле, что результаты производства появляются на рынке

в течение одного периода (года), а нанимаемые производственные

факторы взаимозаменяемы. В этой ситуации модель оптимизации

товарной продукций имеет вид

п

YJCJZJ -» max

7=1

п

YudiiZi <b{ (/ = l , . . . , m !)

7=1

n

Pi UttijZj < Kt (i = mx + 1,..., m)

7=1

m

i=m\ +1

Zj>0 (y=l,...,n); ^ > 0 (/ = //*!+l,...,m).

Здесь pi — цены капитальных факторов; Ki — средства, выделяемые

на их приобретение.

Таким образом, задача состоит в определении не только ин-

тенсивностей производственных способов, но и нахождении

оптимального распределения финансовых ресурсов.

Двойственная задача к приведенной линейной программе

выглядит следующим образом:

т\

X щЬ{ + УУЩ -> min

Щ т

Ъщ<*ц + Z PW*y * cj (j = I,..., п)

W > V/ (l = ГП\ + 1, . . . , /Я)

W/>0 (/ = 1, ....

w > 0; V/ > 0.

Здесь приняты обозначения: w — двойственная оценка финансовых

ресурсов; щ — оценка фиксированного ресурса; v, —

оценка нанимаемого ресурса.

Модели второго типа имеют динамический характер. Они

описывают более реалистичную обстановку, когда производственные

процессы могут быть не только краткосрочными, но и

долгосрочными, в том смысле, что их результаты появятся на

рынке не в данном исходном периоде, а в некотором последующем.

В этом случае при выборе наилучшего решения необходимо

учесть, что денежная выручка, полученная, например, в следующем

году, должна быть приведена (дисконтирована) на основе

процентной ставки за кредит. Таким образом, следует

принять в расчетах, что

J " 1 + г '

где г — ставка банковского процента (0 < г < 1).

Мы приведем пример построения динамической модели для

простого случая, когда все множество производственных процессов

может быть разбито на два подмножества: S— множество

краткосрочных процессов; L — множество долгосрочных процессов,

результаты которых появляются на второй год. Модель позволяет

найти оптимальное решение для исходного года, но с учетом

зависимости результатов от времени изготовления изделий:

HCJZJ + Е TTZZj -> max

jeS jeli + r

n

J^ayZj < bi (/ = 1,..., mj)

y=l

n

Pi HayZj < Ki (/ = m{ + 1,..., m)

y=i

m

i-m\ +1

Zj >0 0 = 1,..., л); #, >0 (i = 111! +1, ...,m).

Анализ представленной модели при различных вариантах

изменения цен на продукцию (су), цен на покупные ресурсы

(/?/), а также ставки банковского процента (г) позволяет выбрать

наиболее удачную программу в меняющихся условиях

рынка.

2. Большой интерес представляют производственные объекты,

деятельность которых основана на самофинансировании.

Это означает, что возможность приобретения производственных

ресурсов в основном зависит от того, насколько успешной была

хозяйственная деятельность предприятия в предыдущие периоды.

Таким образом модель, представляющая поведение предприятия,

по существу должна быть динамической. Оставаясь в

рамках линейных моделей, рассмотрим следующую простую

динамическую оптимизационную модель

п

ft = HcjZj ->niax

У=1

при условиях

ta'yz'jZb} (i = l,...,m)

y=l

z'jbO (y = l,...,m),

где запасы ресурсов Ъ\ в каждый период (год) t определяются

при помощи параметров Р/ (/ = 1, ..., т) как доли оптимального

выпуска продукции в предыдущем периоде

* / = Р / /м (i = l,..-,w).

Используя соотношения, вытекающие из теории двойственности,

имеем

л = л

ЕР/*/ Л-1

V/=l У

Таким образом получаем, что темп роста производства продукции

на подобном хозрасчетном предприятии определяется

величиной

т

/=1

Поскольку величины оптимальных оценок обусловливаются в

основном технологическими коэффициентами и ценами на продукцию,

то определение наилучшего темпа роста А/ может быть

сделано путем рационального выбора параметров р/, которыми в

значительной мере может распоряжаться само предприятие. Из

приведенной формулы, в частности, вытекает очевидная зависимость

между долей средств, которые необходимо направить на

развитие предприятия, и эффективностью использования ресурсов

на этом предприятии. Если эффективность, характеризуемая

оптимальными оценками, велика, то высокий темп развития

производства обеспечивается и при малых значениях коэффициентов

Р/. Для иллюстрации рассмотрим следующий простой пример.

Пусть динамическая модель предприятия имеет вид

5*1 + 6z2 + б^з -> шах

3z\ + 2z2 + Z3 * Р1Л-1

z\ + 3z2 + 4^з < P2//-1

zx > 0; Z2> 0; z3 * 0.

При Pi = Р2 оптимальные оценки ресурсов равны

14 13

«1 = {у = 1'273' и2 = уу = 1Д82>

следовательно, __________величина

Х/ = 1,273р! + 1Д82р2-

Если Pi = р2 = 0,41, то А/ = 1,006;

Pi = P2 = 0,42, то V = 1,031;

Pi = P2 = 0,44, то А/ = 1,080;

Pi = Р2 = 0,45, то А/= 1,105.

Таким образом, в данном случае достаточно высокий темп

роста производства (около 8—10% в год) может быть достигнут

лишь при условии отчисления на развитие предприятия примерно

90% выручки. Подобные расчеты могут быть положены в

основу выбора системы экономических нормативов для групп

однородных предприятий и отраслей промышленности.

3. Описанные в пп. 1 и 2 модели могут служить основой расчетов

оптимальной производственной программы для производственных

предприятий (фирм). Однако во многих случаях объект

такого типа следует рассматривать как составную часть более

сложной отраслевой, региональной или народнохозяйственной

системы. В такой обстановке представленные автономные

модели не отражают многих требований, которые сложная система

(ее регулирующий центр) предъявляет к предприятию как

элементу своей подсистемы. Наиболее распространенным способом

выражения такой «вертикальной» связи оказывается

формулировка специальных заданий по отдельным видам или

группам изделий в форме заказа (контракта), обязательного для

выполнения на данном предприятии. Разрабатывая математическую

модель поведения предприятия в этих условиях, по-

прежнему исходят из предположения о существовании некоторой

целевой функции

п

f = HcjZj>

У=1

максимизация которой соответствует хозяйственным интересам

рассматриваемого объекта1. Группа ограничений, в условиях

выполнения которых происходит оптимизация, состоит из четырех

главных подгрупп:

а) условия, отражающие ограниченность трудовых, материальных

и энергетических ресурсов:

п

J^ayZj <bt (i = 19...,т{).

Здесь через т\ обозначено число строго лимитированных видов

ресурсов, запасы которых не могут быть увеличены в течение

расчетного периода;

б) условия, связанные с необходимостью выполнения контрактов

центра по группам взаимозаменяемых изделий:

п

J^ayZj > Si (/ = т{ + 1,..., т).

У=1

Здесь величина т определяется количеством таких «заказных

» групп изделий;

в) условия, выражающие ограниченность производственной

мощности по выпуску изделия определенного вида, т.е. «локальные

» ограничения типа

Zj<dj {jeNxaN).

Здесь N= {1, ..., п), число элементов множества N\ определяется

количеством изделий, по которым лимитирована производственная

мощность;

г) условия, определяемые заказом на конкретные, строго

указанные виды продукции (изделия):

Zj>lj (jeN2^N).

Количество номеров и сами номера определяются спецификой

заказа (контракта) центра.

Путем соединения перечисленных соотношений и требовании

максимизации целевой функции / получается линейно-

программная модель для определения оптимального плана производства

предприятия, действующего в условиях обязательного

выполнения заказа. Вообще говоря, ограничения этой модели

являются противоречивыми и система условий может оказаться

несовместимой. Возникающая в этом случае задача максимизации

целевой функции называется несобственной. Решение

несобственных задач линейного программирования осуществляется

специальными методами, основанными либо на коррекции

системы ограничений, либо на применении методов

регуляризации. Причиной возникновения несовместимости

может служить либо несогласованность заказа, с одной стороны,

и ресурсных и мощностных ограничений — с другой; либо

определенные неточности в задании основных технологических

способов и ограничительных условий. Мы будем исходить

из того, что эти недостатки устранены специальными

приемами и в дальнейшем изложении изучается случай, когда

система ограничений совместна и поставленная задача имеет

оптимальное решение. В целях проведения дальнейшего экономико-

математического анализа обозначим двойственные

переменные, соответствующие ограничениям подгруппы (а)

через щ (/= 1, ..., mi); ограничениям подгруппы (б) через V/

(/ = т\ + 1, ..., т)\ ограничениям подгруппы (в) через и), для

подгруппы (г) через v}.

В указанных обозначениях функционал двойственной задачи

имеет вид

т\ т

g = Е*/Л - £*/V/ + TidjWj - Z//V).

/=1 i=m\+l jeN\ j^2

В силу равенства оптимальных значений прямой и двойственной

задачи имеем, что максимальная величина целевой функции

/ может быть представлена при помощи соотношения

щ т

f = Е М / - E*iV/ + HdjO'j - £(/vj.

/=1 /=mi+l jeN\ j^2

Здесь через щ, V/, йу, v'j обозначены компоненты оптимального

решения двойственной задачи.

Из приведенного соотношения видно, что каждая оптимальная

оценка щ, й\ сохраняет свой смысл приростной продуктивности

ресурса (в случае оценки Щ производственной мощности).

Величина такой оценки показывает, что при увеличении

ресурса (мощности) на дополнительную «малую единицу» максимальное

значение целевой функции увеличится на щ (соответственно

й\).

Из той же формулы вытекает, что оптимальная оценка v,

может быть интерпретирована как мера потери в целевой функции,

которая возникает, если заказ по /-той группе изделий

будет увеличен. Аналогичный смысл следует придать оптимальной

оценке v'j относительно «индивидуального» заказа изделия

с номером у. Таким образом, если среди указанных оптимальных

оценок имеются отличные от нуля, то возникает возможность

количественного измерения несоответствия между заданиями

центра и хозяйственными интересами производственной

единицы. Полученная информация может быть использована

для согласования интересов верхнего и нижнего звеньев при

помощи специальных мер, включающих в себя изменения цен

изделий, подбор уточненных значений экономических нормативов,

компенсационных платежей.

4. Если в ходе производственного процесса становятся возможными

значительные изменения интенсивностей технологических

способов, то предположение о пропорциональности затрат ресурсов

и результатов хозяйственной деятельности является, вообще

говоря, неверным. Тем самым нарушается одна из важнейших

предпосылок построения линейной модели (см. §10) и становится

необходимым использовать более сложные, нелинейные модели

производства. При этом обычно сохраняется смысл понятия интенсивности

производственного способа и ее содержательная интерпретация,

что позволяет использовать ее в качестве промежуточного

аргумента в зависимости между затратами и результатами.

Наиболее естественным обобщением линейной модели является

выпуклая модель производства, в которой множество Z допустимых

интенсивностей описано при помощи ограничений вида:

gi(Zi,.-.,Zn)^ bt (/ = 1, . . . , / и )

с вогнутыми (выпуклыми вниз) функциями g((z)>

Применяется следующее скалярное правило выбора наилучшего

решения

/(*) = /(£!,...,£„)-» max,

где /-— выпуклая вверх функция своих аргументов, которая

обычно имеет смысл выпуска товарной продукции. Свойство

выпуклости функции f(z), а также вогнутости функций gt(z)

связано с представлением об убывающей эффективности производства,

т.е. о снижении предельных норм выпуска df/dz/ и увеличении

предельных норм затрат (dgi/dzj) при расширении масштабов

производства, т.е. интенсивностей zy Напомним, что в

линейных моделях производства эти нормы считаются постоянными,

т.е. не зависящими от масштабов производства. Аналогом

двойственных оценок линейной модели в рассматриваемом

случае служат оптимальные значения множителей Лагранжа в

задаче нахождения седловой точки функции

т

L(z,u)^f(z)^Zui(bi-gi(z)\

/=1

Точка (?, и) называется седловой точкой функции L в положительном

ортанте (т + л)-мерного пространства переменных

Zj (j = 1, ..., п)\ щ (/ = 1, ..., т), если выполнены условия

L(z, и) < Щ, и) < Щ, и)

для всех z ^ 0; и > 0.

Иными словами в точке ( ? , и) достигается максимальное

значение функции Лагранжа по группе переменных интенсивностей

и минимальное по множителям Лагранжа. Для выпуклой

задачи оптимизации, дополненной условием телесности, седло-

вая точка функции Лагранжа всегда существует. При этом ее

первая компонента z является решением задачи оптимизации,

а вторая компонента и дает оптимальный набор множителей

Лагранжа, которые используются для параметрического анализа

оптимальных планов.

В качестве непосредственного приложения выпуклой модели

производства рассмотрим задачу распределения некоторого запаса

ресурса между несколькими производствами. Эта задача заключается

в том, что требуется найти такой совместный план

работы ряда предприятий, при выполнении которого общий выпуск

продукции достигает наибольшего значения в условиях ограниченности

запаса основного ресурса (например, энергии).

Обозначим через Z/ — интенсивности производственной деятельности

у-того предприятия, через fjizj) —- соответствующий выпуск

продукции, через gj(Zj) — величину затрат основного ресурса. При

этом предполагается, что все fj выпуклы вверх, a gj выпуклы вниз.

Математическая модель задачи имеет вид

п

Hfjizj)-^ max

7=1

±gj{Zj)<b

7=1

Zj>0 (у = 1,...,л).

Пусть основной ресурс является дефицитным, тогда запас Ъ

расходуется полностью, и решение задачи находится методом

условной экстремизации. Функция Лагранжа для этой задачи

следующая:

п ( п

Щ, у) = HfjiZj) + щЪ - Tigjizj)

7=1 V 7=1

Условия оптимальности дают систему соотношений

,(dfj^ *У Ч*7ш-Ы^7(г1| = 0 и'1—п)

( \

b-Zgjizj)

V у=1

= 0.

Ресурс расходуется полностью и обычно его оптимальная

оценка у > 0.

Если при этом все предприятия действуют, т.е. ij > О

(/' = 1, ..., я), то в оптимальном плане выполнены равенства

dfj ~dgj

dzj dzj

Это означает, что для оптимального распределения ресурсов,

нужно выбрать интенсивности работы предприятий таким образом,

чтобы были равны между собой все отношения приростов

продукции к приростам затрат ресурса

J ' ^ = и.

g'j(Zj)

Поскольку каждая из этих величин служит характеристикой

ресурсоемкости продукции на предприятии, то требование их

равенства в оптимальном плане выражает в явной форме принцип

равной эффективности использования ресурсов по различным

конкурирующим направлениям. В самом деле, если бы

некоторое направление имело бы большую эффективность, чем

другие, то следовало бы увеличить его долю в распределении

ресурса за счет уменьшения доли остальных. Вновь полученный

план позволит получить больший объем продукции и, следовательно,

исходный план не является оптимальным.

5. В рассмотренных выше моделях оптимизации правило выбора

наилучшего решения (оптимального плана) представлено

при помощи требования максимизации скалярной функции,

которая таким образом отражает степень достижения целей

объекта и поэтому часто называется целевой функцией.

Однако построение такой целевой функции для реального

экономического объекта представляет собой, как правило,

очень трудную задачу. Причины этого связаны с многообразным

характером целей развития, влиянием не только экономических,

но и социальных факторов, сложностью оценки полезности

конечных результатов хозяйственной деятельности и т.п.

Поэтому некая синтезированная общая цель производственного

объекта часто может быть выражена лишь в словесной форме,

но практически не поддается формулировке при помощи четко

выраженной скалярной целевой функции. В связи с этим ока-

зывается перспективным считать, что объект ставит перед собой

задачу достижения не одной общей цели, но имеет в виду систему

целей, каждой из которой отвечает частная целевая функция.

Такой подход позволяет поставить задачу выбора наилучшего

решения как проблему многокритериальной оптимизации

на множестве Z допустимых наборов интенсивностей технологических

способов.

Пусть fi(z) (/= 1, ..., L) — целевые функции, соответствующие

системе L целей производственного объекта, определенные

на множестве Z При этом большему значению f/ отвечает более

высокая степень достижения /-той цели. Можно сказать, что

требуется найти решение задачи векторной оптимизации

f(z) = {f\(z)>.-., fi(z)} -» max

для z e Z

В данной ситуации векторная целевая функция/(г) выступает

в виде компромисса между различными целями и позволяет

условно сформулировать некоторую, вообще говоря, некорректную

математическую задачу, в которой требуется найти план,

который был бы точкой максимума для нескольких различных

функций. Для того, чтобы хотя бы частично устранить эту неправильность,

используются некоторые примирительные определения

решений многокритериальной задачи. Наиболее распространенным

из них является понятие оптимума Парето, которое

звучит следующим образом:

вектор z называется оптимумом Парето в задаче векторной

оптимизации

f(z) -> max; z е Z,

если не существует такого допустимого вектора z e Z, что

fi(z)>fi(z) (/ = 1, ...,£),

причем для некоторого номера IQ

Mz)>Mz).

Это означает, что для оптимального, по Парето, вектора z

характерно следующее свойство: если некоторый допустимый

вектор z дает большее значение некоторой частной целевой

функции, чем для вектора z , то необходимо существует другая

частная целевая функция, значение которой в точке z больше,

чем ее значение в точке z- Нетрудно видеть, что определение

оптимума Парето является естественным обобщением максимума

скалярной функции f(z), которое можно сформулировать

так: допустимый вектор z является оптимальным, если не существует

другого допустимого вектора z, для которого было бы

f(z)>f(z).

Вообще говоря, оптимум Парето не является единственным.

Совокупность всех таких оптимумов образует множество Паре-

то, которое может иметь сложную структуру. Чаще всего представление

о множестве Парето дается при помощи графического

изображения в пространстве частных целевых функций (критериев).

Пример такого представления приведен на рис. 5.8.

/2

А

О D Jl

Рис. 5.8. Оптимальность по Парето

Здесь множество F есть образ множества допустимых интен-

сивностей Znpii монотонном преобразовании

/te) = {/ife),/2(z)}.

Отрезок ВС является образом множества Парето в задаче

f(z) -» max; z e Z.

Проблема описания множества Парето в конкретной задаче

многокритериальной оптимизации оказывается обычно очень

сложной и решается путем последовательного решения серии

вспомогательных однокритериальных задач. При этом используется,

в частности, тот факт, что оптимальный план всякой задачи

вида

L

Za / / / ^ ) -* m a x ' zeZ; a/> 0 (/= 1,..., Z,)

/=1

является оптимумом Парето. Следовательно, изменяя коэффициенты,

можно построить некоторый набор точек множества

Парето.