В предыдущей главе мы рассмотрели задачу определения

согласованных цен, а значит – множества потребителей, включенных в

централизованную схему снабжения, а также объемы и сроки их

заказов. На основе этой информации можно построить график

поставок продукции от центра к потребителям. Для обеспечения этого

графика, соответствующие объемы продукции должны быть

своевременно заказаны у производителей и находиться на складе у

центра.

С точки зрения оптовых цен, очевидно, самое выгодное

закупить сразу весь объем продукции, заказанный потребителями в

рассматриваемом периоде времени и держать его на складе. Именно

такой вариант закупок был рассмотрен в предыдущей главе. Однако,

при этом возрастают затраты на хранение продукции на складе, а

также возможные потери в качестве и количестве продукции. Кроме

того, большие закупки требуют соответствующего количества

оборотных средств, что приведет к необходимости взятия кредита и

выплаты процентов. Требуется найти оптимальный вариант закупок,

обеспечивающий минимум суммарных потерь.

В качестве основного требования примем безусловное

выполнение центром графика поставок потребителям (считаем, что

санкции за срыв поставок превышают возможную экономию от

уменьшения издержек на хранение и процентов за кредит). Рассмотрим

интегральный график поставок продукции потребителям (рис. 2.1).

W(t)

t

t1 t2 t3 t4 t5

w1

w2

w3

w4

w5

Рис. 2.1.

Смысл этого графика в том, что к моменту ti центр должен

поставить потребителям продукцию в объеме wi. На основе графика

поставок можно построить интегральный график закупок продукции у

производителей (рис. 2.2), учитывая сроки поставок продукции от

производителя центру.

W(t)

t

1 2 3 4 5

w1

w2

w3

w4

w5

Рис. 2.2.

Можно закупать и раньше, но позже нельзя, поскольку это приведет к

срыву графика поставок потребителям. В дальнейшем будем считать,

что рост цен на продукцию незначителен, так что закупка продукции

раньше, чем требуется, нецелесообразна. По этой причине возможные

закупки продукции будут производиться центром в моменты i,

определяемый сроками ti изменения объема поставок. Очевидно, что в

момент 1 центр должен закупить продукции в объеме не менее w1. При

этом, если следующая закупка продукции будет производиться в

момент i, то в момент 1 центр должен закупить продукции в объеме

wi-1. Действительно, объем продукции, закупленной в момент 1

должен быть достаточен для того, чтобы обеспечить всех

потребителей, поставки которым должны быть раньше, чем ti.

Предположим сначала, что оптовая цена продукции не зависит

от объема закупок (это вполне возможная ситуация, когда объемы

закупок попадают в интервал постоянства оптовой цены). Покажем,

что в этом случае оптимальная стратегия закупок состоит в том, чтобы

производить закупки продукции в моменты i в объеме i = wi – wi-1, то

есть в объеме, который требуется для выполнения заказов

потребителей в момент ti. Действительно, закупки ранее требуемого

срока приведут только к росту затрат на хранение и процентов за

кредит. Таким образом, закупка в момент i продукции в объеме более

чем i целесообразна только, если объем закупочной партии будет

обеспечивать скидку в оптовой цене. Примем, что скидка к оптовой

цене дается производителем в случае, если объем закупок не менее

определенной величины Q. Рассмотрим метод построения всех

рациональных стратегий закупок. Начнем с момента времени 1 первой

закупки. Очевидно, что в этот момент центр должен произвести

закупку продукции либо в объеме 1 = w1, либо не менее Q.

Действительно, как было показано выше, закупать больше чем имеет

смысл только в том случае, если объем закупки не менее Q. Пусть

wi Q < wi+1. Это означает, что объема Q достаточно, чтобы

обеспечить потребителей до момента i включительно. Нетрудно

показать, что если объем закупленной продукции равен Q, то

следующую закупку рационально сделать в момент i+1 (не ранее),

поскольку в противном случае возникают дополнительные расходы на

хранение и, возможно, проценты за кредит. По той же причине в

случае, если объем закупленной продукции превышает Q, то

рациональные варианты закупок составят wi+1, wi+2, ... , wm.

Аналогичные рассуждения можно провести для момента 2 и т.д.

Одно важное замечание. Когда мы переходим к рассмотрению

вариантов закупок в момент i, то в зависимости от выбираемых

вариантов закупок на предыдущих шагах, мы будем иметь различные

остатки продукции на складе к моменту i. Понятно, что каждую

ситуацию, характеризуемую определенным количеством продукции на

складе, следует рассматривать отдельно. Сказанное выше позволяет

выделить все рациональные стратегии закупок продукции. Их удобно

представить в виде графовой модели. Способ построения модели

рассмотрим на примере.

Пример 2.1. Пусть график закупок имеет вид, приведенный в

таблице 2.1.

Таблица 2.1.

i 1 2 3 4 5

ti 5 10 17 20 22

wi 10 20 23 40 44

Di 10 10 3 17 4

Примем, что хранение единицы продукции в течении суток

обходится в 0,1 тыс. руб. (учитываются только переменные издержки,

связанные с охраной, мерами по предотвращению порчи и т.д.).

Оптовая цена на продукцию равна 5 тыс. руб., если объем закупок

меньше 25 ед. Если объем закупок не менее 25 ед., то оптовая цена

равна 4 тыс. руб.

Для построения всех рациональных вариантов закупок построим

сеть. Сетью называется граф с выделенными начальной и конечной

вершинами (вход и выход сети).

Шаг 1. Рассмотрим вершину 1, соответствующую закупкам в

момент 1. Как было показано выше, рациональные объемы закупок в

момент 1 = 5 равны 10, 25, 40, 44. Проведем из вершины 1 дуги,

соответственно в вершины 2, 4, 5, 6 (рис 2.3).

1 2 3 4 5 6

Рис. 2.3.

Так, например, дуга (1, 4) означает, что закупается 25 единиц

продукции, а следующая закупка состоится в момент 4 = 20, дуга (1, 6)

означает, что закупается 44 единицы.

Шаг 2. Рассматриваем вершину 2, соответствующую моменту

2. Здесь мы имеем четыре рациональных варианта закупок: 10, 25. 30,

34. Поэтому проводим дуги (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6). Заметим теперь,

что дугам (1, 4) и (2, 4) соответствуют разные величины остатков

продукции на складе центра. Для дуги (1, 4) остаток продукции равен 2

ед., так как закуплено 25 ед., и отправлено потребителям к моменту t4

только 23 ед. Для дуги (2, 4) остаток равен 12 ед., так как закуплено в

момент 2 25 ед., а отправлено потребителям только 13 ед. Наконец,

для дуги (3, 4) остаток равен 0. Чтобы различить эти три ситуации

представим вершину 4 в виде трех вершин: 4, 41, 42 (рис. 2.4).

1 2 3 4 5 6

41

42

Рис. 2.4.

Шаг 3. Рассматриваем вершину 3, соответствующую моменту

3. Здесь мы имеем всего два рациональных варианта закупок: 3 и

25 ед. Проводим, соответственно, дуги (3, 4) и (3, 6).

1 2 3 4 5 6

41

42

Рис. 2.5.

Шаг 4. Рассматриваем вершины 4, 41, 42, соответствующие

моменту 4. Для вершины 4 имеем два рациональных варианта закупок:

17 и 25 ед. проводим дуги (4, 5) и (4, 6). Для вершины 41 имеем два

рациональных варианта закупок: 15 и 25 единиц, а для вершины 42

тоже два варианта: 5 или 25 единиц. Проводим дуги (41, 5), (41, 6),

(42, 5), (42, 6).

Шаг 5. Рассматриваем вершину 5, соответствующую моменту

5. Имеется два рациональных варианта закупок: 4 и 25 ед. Сравнивая

эти варианты, оставляем лучший (метод сравнения будет описан ниже

при определении длин дуг). Проводим дугу (5, 6). Окончательный вид

сети рациональных вариантов закупок (сеть РВЗ) приведен на рис. 2.6

(для удобства вершины 1 и 6 изображены в виде прямоугольников). В

верхней половине каждой вершины указан ее номер, а в нижней –

минимальные затраты на реализацию соответствующего варианта

закупок. Алгоритм определения минимальных затрат рассматривается

ниже.

42

111,6

5

186,6

4

115

1

0

6

195,6

2

50

3

100

(216,9)

(111,6) (84)

(194,1) (20)

(15)

(50)

(85)

(50)

(216,9)

(114,1)

41

164,1

(89,6)

(104,6)

(56)

(159,9)

Рис. 2.6.

Эта сеть обладает важным свойством, а именно – любому

рациональному варианту закупок соответствует один и только один

путь в сети, соединяющий вход сети (вершина 1) с выходом (вершина

6). И наоборот, любому пути, соединяющему вершину 1 с вершиной 6

соответствует один, и только один рациональный вариант закупок

продукции. Любой дуге сети РВЗ соответствует закупка определенного

количества продукции в определенный момент времени. Так,

например, дуге (4, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции в момент

4 = 20.

Положим длины дуг графа РВЗ равными затратам на оплату

закупаемой продукции и ее хранения на складе (пока не учитываем

проценты за кредит). Рассмотрим метод определения длин дуг.

Дуге (1, 2) соответствует закупка 10 ед. продукции в момент 1 =

5 по цене 5 тыс. руб. Для этого потребуется 50 тыс. руб. продукция

сразу же отправляется потребителю, поэтому затраты на хранение

отсутствуют. Таким образом, затраты равны 50 тыс. руб., а значит

длина дуги (1, 2) равна 50.

Дуге (1, 41) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной

цене 4 тыс. руб. в момент 1 = 5. Для этого требуется 254 = 100 тыс.

руб. Однако, 10 ед. продукции будут лежать на складе до 10 числа, то

есть 5 дней, 3 ед. будут лежать на складе до 17 числа, то есть 12 дней, а

2 ед. будут лежать до 20 числа, то есть 15 дней. Учитывая, что затраты

на хранение продукции составляют 0,1 тыс. руб. в сутки, получаем, что

суммарные затраты на хранение равны (105 + 312 + 215)0,1 = 11,6

тыс. руб., и значит длина дуги (1, 41) равна 111,6.

Дуге (1, 5) соответствует закупка 40 ед. продукции в момент

1 = 5. Для этого потребуется 160 тыс. руб. Определим затраты на

хранение. Дополнительно к затратам на хранение, определенным для

операции (1, 41), появляются затраты на хранение 15 ед. продукции в

течение 15 дней, то есть 22,5 тыс. руб. Суммарные затраты составят

160 + 11,6 + 22, 5 = 194,1 тыс. руб. Это и есть длина дуги (1, 5).

Дуге (1, 6) соответствует закупка 44 ед. продукции по льготной

цене в момент 1. Для этого потребуется 176 тыс. руб. Дополнительные

затраты на хранение по сравнению с операцией (1, 5) составляют

4170,1 = 6,8 тыс. руб.Следовательно, длина дуги (1, 6) равна 176 +

34,1 + 6,8 = 216,9.

Дуге (2, 3) соответствует закупка 10 ед. продукции по 5 тыс. руб.

Следовательно, длина дуги равна 510 = 50.

Дуге (2, 42) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение

составят (37 + 1210) 0,1 = 14,1. Длина дуги равна 114,1.

Дуге (2, 5) соответствует закупка 30 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 120 тыс. руб. Дополнительные затраты на

хранение по сравнению с операцией (2, 42) составят 5100,1 = 5 тыс.

руб.Длина дуги равна 120 + 14,1 + 5 = 139,5.

Дуге (2, 6) соответствует закупка 34 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 344 = 136 тыс. руб. Дополнительные

затраты на хранение по сравнению с операцией (2, 5) составят 4120,1

= 4,8 тыс. руб.Длина дуги (2, 6) равна 136 + 19,1 + 4,8 = 160,7.

Дуге (3, 4) соответствует закупка 3 ед. продукции по 5 тыс. руб.

Длина дуги равна 15.

Дуге (3, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до

момента 5 = 22 составят (173 + 55)0,1 = 7,6 тыс. руб. После отправки

продукции всем потребителям остается еще 1 ед. продукции.

Необходимо оценить ожидаемые затраты (или ожидаемый доход) от

этого избыточного количества. Очевидно, это зависит от возможности

реализации избыточной продукции. Пусть в нашем примере

ожидаемый доход оценивается экспертами величиной 3 тыс. руб. на ед.

избыточной продукции. Теперь можно определить длину дуги (3, 6),

которая равна 100 + 7,6 – 3 = 104, 6.

Дуге (4, 5) соответствует закупка 17 ед. продукции по 5 тыс. руб.

Длина дуги равна 85.

Дуге (4, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до

момента 6 = 22 составляют 820,1 = 1,6 тыс. рубС учетом

ожидаемого дохода от 4 единиц избыточной продукции получим, что

длина дуги (4, 6) равна 100 + 1,6 - 12 = 89,6 тыс. руб

Дуге (41, 5) соответствует закупка 15 ед. продукции по 5 тыс.

руб. Длина дуги (41, 5) равна 75.

Дуге (41, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до 22

числа составят 1020,1 = 2 тыс. руб.С учетом дохода от 6 единиц

избыточной продукции получаем, что длина дуги (41, 6) равна 100 + 2 -

18 = 84 тыс. руб.

Дуге (42, 5) соответствует закупка 5 ед. продукции по цене 5 тыс.

руб. Длина дуги (42, 5) равна 25.

Дуге (42, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной

цене. Для этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до 22

числа составят 2020,1 = 4 тыс. руб.С учетом дохода от 16 единиц

избыточной продукции получаем, что длина дуги (42, 6) равна 100 + 4 -

48 = 56 тыс. руб.

Дуге (5, 6) соответствуют две рациональные операции закупки.

Первая – закупить 4 ед. продукции по цене 5 тыс. руб. Затраты при

этом составят 20 тыс. руб. Вторая – закупить 25 ед. продукции по

льготной цене. Затраты с учетом дохода от 21 ед. избыточной

продукции составят 254 - 213 = 37 тыс. руб. Выберем вариант с

меньшими затратами. Длина дуги (5, 6) равна 20.

Длины всех дуг указаны на рис. 2.6 - у соответствующих дуг в

скобках.

Таким образом, мы построили сетевую модель, которая

содержит все рациональные варианты закупок продукции. Каждому

такому варианту соответствует путь в сети, соединяющий вход с

выходом. Затраты на оплату продукции и хранение ее на складе равны

длине соответствующего пути. Задача свелась к определению пути

минимальной длины.