Выше обсуждались некоторые соображения, позволяющие предпочесть

одни индексные формулы другим. Еще одним соображением является тре-

бование выполнения теста обратимости ситуаций, в соответствии с ко-

торым индекс, рассчитанный в прямом направлении должен представлять

собой обратную величину по отношению к индексу, исчисленному в об-

ратном направлении [51]. При проведении межвременных сопоставлений

этот тест называют тестом обратимости во времени. В соответствии с

ним для любой пары сопоставляемых периодов t1 и t2 должно выполняться

I(t1,t2)􀂘I(t2,t1) = 1. Этот тест всегда выполняется для индивидуальных индек-

сов, но многие формулы сводных индексов ему не удовлетворяют. Из рас-

смотренных выше, тесту обратимости во времени не удовлетворяют индек-

сы Ласпейреса и Пааше, а индексы Фишера, Эджворта􀀐Маршалла и все

индексы, основанные на геометрических средних, этому тесту удовлетво-

ряют.

Если при построении временного ряда сцепленного индекса использу-

ется формула, не удовлетворяющая тесту обратимости во времени, то такой

ряд может расходиться, т. е. он может неограниченно возрастать с течени-

ем времени даже в отсутствие неограниченного роста индивидуальных ин-

дексов цен (количеств). Соответственно получаемый результат может

иметь мало общего с реальным изменением цен (количеств).

Покажем это на простом примере, когда рост цен измеряется индексом

(6.25) 􀂖􀂦

􀀐

􀀠

􀀠􀀎

1

0

1

( 0 , 1)

N

n j

j

n

j

j n

p

I T T w p

с неизменными от шага к шагу весами wj (см. также [63,70]). Индексы

вида (6.25) не удовлетворяют тесту обратимости во времени, поскольку для

каждого шага по времени справедливо неравенство

1

1

1 􀁴􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀂘􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀂦􀂦

􀀎

􀀎

j

j

n

j

j n

j

j

n

j

j n

p

w p

p

w p ,

причем равенство достигается только в практически нереальном случае

совпадения на данном шаге по времени всех индивидуальных индексов цен

j

n

j

pn􀀎1 p . Поэтому последовательность значений любого индекса вида

(6.25) неограниченно возрастает на любой периодической последователь-

ности векторов цен p1,p2,p1,p2 ,... такой, что p1􀁺p2 , поскольку за каждый

шаг по времени значения индекса увеличиваются в одинаковой пропорции,

вместо того, чтобы оставаться неизменными. Таким образом, при осцилли-

рующих (колеблющихся с течением времени) ценах возникает экспоненци-

альное смещение вверх.

Рис. 6.4. Иллюстрация возникновения экспоненциального смещения при

построении временного ряда сцепленного индекса по осциллирующим ин-

дивидуальным индексам с использованием индексной формулы, не удовле-

творяющей тесту обратимости во времени:

1 и 2 􀀐индивидуальные индексы

3 􀀐сводный индекс

Пусть корзина состоит всего из двух представителей, которые учиты-

ваются в (6.25) с одинаковыми весами w1 􀀠w2 􀀠0.5 , а цены на них осцил-

лируют, не демонстрируя тенденции роста или снижения, 1 2n%2

pn 􀀠,

2 2 n%2

pn 􀀠􀀐, где n%2 обозначает остаток от деления n на 2 (см. рис. 6.4).

Тогда

N N

n

T T I 􀂸􀂹

􀂷

􀂨􀂩

􀀠􀂧􀂸􀂹

􀂷

􀂨􀂩

􀂧􀂘􀀎􀂘􀀠􀂖􀀐

􀀠4

5

2

1

2

2 1

2

( , ) 1

1

0

0 1 , т. е. на каждом шаге по времени

индекс демонстрирует рост в

4

5 раз. Приведенный пример показывает, что

для неограниченного роста значений индекса цен (6.25) не требуется вовсе

никакого роста цен, достаточно, чтобы они осциллировали. Вообще, при

сцеплении любых индексов, не удовлетворяющих тесту обратимости во

времени, будут возникать подобные смещения29.

конец 1991 г. = 1

а

б

Рис. 6.5. Иллюстрация возникновения смещения при построении временно-

го ряда сцепленного индекса с использованием индексной формулы, не

удовлетворяющей тесту обратимости во времени:

а) первоначальный вариант официального индекса цен

производителей промышленной продукции, построенного с

использованием неадекватной индексной формулы (1),

уточненный вариант того же индекса (2)

б) отношение первоначального варианта индекса к уточненному

Заметим, что индексы типа (6.25) использовались Госкомстатом при

исчислении помесячных индексов цен производителей, что привело к их

колоссальному завышению в 1992􀀐1993 гг. (см. [70]). Иллюстрацию этого

дает рис. 6.5, на котором показаны два варианта официального индекса цен

производителей промышленной продукции. Первоначально при расчете

значений этого индекса по отношению к предыдущему месяцу использова-

лась формула, не удовлетворяющая тесту обратимости ситуаций, впослед-

ствии был рассчитан новый вариант официального индекса в помесячном

выражении, в котором это смещение в первом приближении устранено.

Видим, что за два года с конца 1991 г. по конец 1993 г. первоначальная

оценка роста цен производителей превышала исправленную в 2,1 раза. В

соответствии с первоначальным вариантом индекса цены в 1992 г. выросли

в 63,5 раза, что на 88% превышает уточненную оценку, согласно которой

рост цен составил 33,8 раз. В 1993 г. согласно первоначальной оценке цены

выросли в 11,3 раза, что на 13% превышает уточненную оценку, согласно

которой цены выросли в 10,0 раз. Этот пример показывает, к последствиям

какого масштаба может привести использование неадекватной индексной

формулы в условиях российской переходной экономики30.

Возникновение значительных смещений в сторону завышения оценок

произошедшего роста цен является типичной проблемой при построении

временных рядов сцепленных индексов с использованием индексных фор-

мул, не удовлетворяющих тесту обратимости во времени.

Другие соображения, позволяющие предпочесть одни индексные фор-

мулы другим, обсуждаются в [71].