Недостатком всех формул, полученных на основе (6.12), является ис-

пользование в них информации о динамике потоков количества q~ j (t) . За_____-

частую единственной доступной информацией о количествах является ин-

формация о динамике долей потоков стоимости wj (t) 􀀠v~ j (t) /V~(t) ,

wj (t) 􀁴0 , 􀂦( ) 􀁻1 j

wj t . В этом случае от переменных (p,q~) удобно перей-

ти к переменным (r,w) , где

( )

( ) ln ( )

p T0

r t p t j

j

j 􀀠􀀐логарифмы индивидуаль-

ных индексов цен. В этих переменных индекс цен Дивизиа может быть за-

писан как

(6.19) 􀀠􀂳􀂦

1

0

ln ( 0, 1) ( ) ( )

,

T

T

j

I p D T T wj t r􀀆 j t dt ,

что несколько проще, чем (6.12).

Преобразование переменных (p,q~) в (r,w) не является взаимно одно-

значным, поэтому в переменных (r,w) не все рассмотренные выше ап-

проксимации могут быть получены. Так, если данные о долях потоков

стоимости известны только в узлах сетки, то не может быть использована

формула Эджворта􀀐Маршалла (6.17), а если они известны только в полу-

целых узлах tn􀀎1/ 2 􀀠(tn 􀀎tn􀀎1) / 2 􀀠tn 􀀎􀁗/ 2 􀀐то не могут быть использованы

формулы Ласпейреса, Пааше и, следовательно, Фишера. Вместе с тем (6.19)

позволяет дополнительно получить несколько иные аппроксимации.

Так, если на шаге n положить j

n n

wj (t) 􀁼wj (t ) 􀀠w , получаем

 (6.20) 􀀎􀀠􀂳􀂦􀀠􀂦􀀎􀀐􀀠

􀀎

j

j

n

j

n

j

n

t

t

j

j j

n n

I p D t t w t r t dt w r r

n

n

ln ( , 1) ( ) ( ) ( 1 )

,

1

􀀆

􀂖􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀀎

j

w

j

n

j

n

j

n

p

p 1 ln ,

где ( n )

j j

rn 􀀠r t , 􀀎1 􀀠( n􀀎1)

j j

rn r t , j

n

j

j n

n

j

n p

r r p 1

1 ln 􀀎

􀀎􀀐􀀠. Таким образом, на данном

шаге по времени индекс Дивизиа аппроксимируется взвешенным средним

геометрическим с весами, соответствующими началу шага по времени, а на

всем отрезке [T0,T1] 􀀐сцепленным индексом

(6.21) 􀂦􀂦􀂖􀂖

􀀐

􀀠

􀀎

􀀐

􀀠

􀀎􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀀐􀀠

1

0

1

1

0

0 1 1

ln , 0 ( , ) ( ) ln

N

n j

w

j

n

j

n

N

n j

j

n

j

n

j

n

p G

j

n

p

I T T w r r p .

Если же на шаге n положить j

n n

wj t wj t w ( ) 􀁼( 􀀎1) 􀀠􀀎1 , получаем формулу

взвешенного среднего геометрического с весами, соответствующими концу

шага по времени

(6.22) 􀂦􀂖

􀀎

􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀀐􀀠􀀎

􀀎􀀎􀀎

j

w

j

n

j

n

j

j

n

j

n

j

n n n

p D

j

n

p

I t t w r r p

1

1

1 1 1

ln , ( , ) ( ) ln .

Пара формул (6.20), (6.22) является аналогом пары формул Ласпейреса

и Пааше, полученных с использованием геометрических средних вместо

арифметических. Как и в случае формул Ласпейреса и Пааше, обе эти фор-

мулы дают методы первого порядка, т_____. е. также обеспечивают низкую точ-

ность по причине запаздывания весов на 􀁗2 в индексе (6.20) и их опере-

жения на 􀁗2 в индексе (6.22), и они имеют примерно одинаковые оста-

точные члены на каждом шаге, но с противоположными знаками28. Эти

погрешности можно в первом приближении взаимно компенсировать так

же, как и в случае формул для арифметических средних.

28 Заметим, что из этого не следует, что индексы (6.20) и (6.22) имеют примерно ту

же точность, что и индексы Ласпейреса и Пааше, поскольку точность, помимо ско-

рости сходимости, определяется еще и константой. Эти константы для двух пар

индексов могут различаться даже по порядку величины.

Аппроксимация на шаге n функций wj (t) полусуммой значений в узлах

( ) ( ( ) ( 1)) / 2 ( 1) / 2

j

n

j

n n

j

n

wj t wj t w t w w 􀁼􀀎􀀎􀀠􀀎􀀎дает индекс Торнквиста

(6.23) 􀂦􀂖

􀀎􀀎

􀀎

􀀎􀀎��􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀀎􀀐􀀠

j

w w

j

n

j

n

j

j

n

j

n

j

n

j

n n n

p D

j

n

j

n

p

I t t w w r r p

2

1

1 1 1

,

1

( )( ) ln

2

ln ( , ) 1 ,

который является аналогом индексов Фишера и Эджворта􀀐Маршалла од-

новременно и так же, как и они, является методом второго порядка. Ис-

пользование средней точки j

n n

j

n n

wj t wj t t w t w ( ) 􀁼(( 􀀎􀀎1) / 2) 􀀠( 􀀎􀁗/ 2) 􀀠􀀎1/ 2

вместо полусуммы значений в узлах позволяет примерно вдвое уменьшить

остаточный член в формуле Торнквиста и дает индекс

(6.24) ��􀂖

􀀎

􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀀐􀀠􀀎

􀀎􀀎􀀎

j

w

j

n

j

n

j

j

n

j

n

j

n n n

p D

j

n

p

I t t w r r p

1/ 2

1

1 1/ 2 1

ln , ( , ) ( ) ln .

Этот метод представляется особо привлекательным, поскольку данные о

структуре потребительских расходов на шаге по времени, на основе кото-

рых формируют веса для построения индексов потребительских цен, соот-

ветствуют в первом приближении как раз середине шага по времени.

В основе всех рассмотренных формул разностных аппроксимаций ин-

декса Дивизиа лежит использование информации лишь в двух узлах сетки

на каждом шаге интегрирования. Вместе с тем существует много формул

численного интегрирования, основанных на использовании информации в

большем числе узлов сетки. Такие формулы позволяют существенно повы-

сить точность метода интегрирования. Несмотря на это, при построении

разностных аппроксимаций индекса Дивизиа обычно ограничиваются фор-

мулами, основанными на информации лишь в двух узлах сетки. Использо-

вание в формулах для аппроксимации шага интеграла (6.12) значений

функций q~ j (t) или wj (t) в более, чем двух, узлах сетки с целью повыше-

ния порядка метода обычно ограничивается невысокой точностью исход-

ных данных о количествах, их несопоставимостью для разных шагов по

времени при изменениях состава потребительской корзины в узлах сетки и

малым числом шагов по времени N, для которых обычно имеются исход-

ные данные.

Аппроксимация функций wj (t) константами дает на соответствующем

шаге формулу геометрического среднего, в отличие от формулы арифмети-

ческого среднего, которая получается при аппроксимации константами

функций q~ j (t) . Различие между двумя типами средних, как уже отмеча-

лось, состоит в различии соответствующих им предположений о характере

взаимосвязи между ценами и количествами, т. е. о возможности замещения

одних представителей другими при изменении относительных цен. В осно-

ве использования среднего геометрического с неизменными весами лежит

предположение о том, что такое замещение происходит, причем с измене-

нием цен количества изменяются так, что доли стоимости остаются неиз-

менными, тогда как в основе использования среднего арифметического с

неизменными весами лежит предположение об отсутствии влияния изме-

нения цен на динамику количеств, т. е. о том, что замещения не происхо-

дит.

Априори нельзя отдать предпочтение тому или иному типу осреднения,

поскольку в разных случаях характер взаимосвязи между ценами и количе-

ствами может существенно различаться. Вместе с тем адекватный учет за-

мещения в конкретной ситуации может существенно повысить точность,

что особенно актуально в связи с тем, что в задачах измерения роста цен

обычно существует ограничение снизу на величину шага по времени

􀁗􀁴􀁗min 􀀡0 , обусловленное технологией сбора и обработки данных, необ-

ходимых для построения системы весов. Неадекватный учет замещения

приводит к возникновению смещения, обусловленного процессами замеще-

ния (substitution bias, см., например, [68,49]).

Помимо двух рассмотренных типов взаимосвязи между ценами и коли-

чествами, можно использовать и другие, для чего может быть полезным

привлечение концепции индекса стоимости жизни (подробнее см. [69]).

Это особенно актуально для крупных шагов по времени.

Заметим, что все рассмотренные формулы позволяют корректно обра-

батывать особенность в подынтегральном выражении, возникающую при

либерализации цен, когда p􀀆 j (t)􀁯􀀎􀁦при t 􀁯T􀁣, где T􀁣􀀐момент либе-

рализации цен.