Значение сцепленного индекса, вообще говоря, зависит от разбиения

интервала сопоставления и, в частности, от величины шага по времени.

Шаг по времени является параметром метода, следовательно, результат

измерения может зависеть от параметра метода измерения, подобно

тому, как если бы результат измерения длины существенно зависел от вы-

бора линейки. Это 􀀐плохо. Возникает естественный вопрос: существует ли

предел последовательности сцепленных индексов при уменьшении шага по

времени до нуля, и если существует, то зависит ли он от выбора индексной

формулы, используемой на шаге по времени сцепленного индекса? Если

окажется, что такой предел существует и не зависит от выбора индексной

формулы (во всяком случае, среди формул некоторого множества), то

именно его имело бы смысл считать результатом измерения, а сцепленные

индексы 􀀐его аппроксимациями.

Рассмотрение формул двухситуационных индексов проводилось выше в

дискретном времени. Это было удобно, поскольку позволяло использовать

одни и те же формулы во всех случаях, не обращая внимания на то, показа-

тели типа запаса или типа потока в них используются. Для того чтобы был

возможен переход к пределу, рассмотрение должно вестись в непрерывном

времени. В этом случае необходимо учитывать различия между перемен-

ными типа запаса и переменными типа потока. Использование понятия пе-

риода, обобщающего понятия момента и интервала, в этом случае невоз-

можно. Поэтому необходимо перейти к новым обозначениям.

Переменной t по-прежнему будем обозначать время. Однако если в дис-

кретном случае периоду i мог соответствовать как момент, так и интервал,

то в непрерывном случае переменной t будем обозначать только моменты

времени. Поэтому функциями времени в этом случае может описываться

только динамика переменных типа запаса. Место переменных типа потока

займут соответствующие им интенсивности потока. Соответствующие

обозначения будем помечать сверху значком "~", чтобы различать пере-

менные типа потока и их интенсивности.

Пусть имеется полная информация о траектории, т. е. о динамике всех

цен и количеств на анализируемом отрезке времени от момента T0 до мо-

мента T1. Функцией p j (t) будем обозначать цену представителя j в момент

t. Ее смысл 􀀐тот же, что и в дискретном случае. Однако в непрерывном

случае это 􀀐цена, соответствующая именно моменту t, тогда как в дис-

кретном случае j

pi может быть и средней ценой за интервал времени

􀂳

􀂳

􀀐

􀀠􀀐

i

i

i

i

t

t

j

t

t

j j

j

i

q t dt

q t p t dt

p

1

1

~ ( )

~ ( ) ( )

,

как, например, при построении дефляторов. Здесь функцией q~ j (t) обозна-

чена интенсивность потока количества представителя j в момент t. Если в

дискретном случае периоду i соответствует интервал от ti􀀐1 до ti, то количе-

ство j

qi представителя j периода i равно

􀂳

􀀐

􀀠

i

i

t

t

j j

qi q t dt

1

~ ( ) .

Аналогично ~v j (t) 􀀠p j (t)q~ j (t) 􀀐интенсивность потока стоимости пред-

ставителя j в момент t, 􀀠􀂦j

V~(t) v~ j (t) 􀀐интенсивность потока стоимости

корзины в момент t, wj (t) 􀀠v~ j (t) V~(t) 􀀐доля потока стоимости представи-

теля j в потоке стоимости корзины в момент t.

Тогда

􀀠􀀠􀂦􀀋􀀌􀀠j

p j t q j t

dt

d

dt V t

dV t

dt V t

d V t ( )~ ( )

~( )

~( ) 1

~( )

ln ~( ) 1

􀀠􀀋􀂦􀀎􀂦􀀌􀀠j

j j

j

p j t q j t p t q t

V t

( )~ ( ) ( )~ ( )

~( )

1 􀀆 􀀆

􀀠􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀂦􀀎j j

j

j j

j

j

j j

q t

p t q t q t

p t

p t q t p t

V t ~ ( )

~ ( )

( )~ ( )

( )

( )~ ( ) ( )

~( )

1 􀀆 􀀆

􀀠􀂦􀀎􀂦j j

j

j

j j

j

j

q t

w t q t

p t

w t p t

~ ( )

~ ( )

( )

( )

( ) ( )

􀀆 􀀆 ,

где точка над значком функции обозначает дифференцирование по време-

ни.

Таким образом, темп изменения интенсивности потока стоимости кор-

зины есть сумма среднего темпа изменения цен и среднего темпа измене-

ния интенсивностей потоков количества. Первое слагаемое определяется

динамикой цен, а второе 􀀐динамикой интенсивностей потоков количества.

Поэтому если последнее выражение проинтегрировать, то на основе перво-

го слагаемого получим индекс цен, а на основе второго 􀀐индекс потоков

количества.

Индекс цен Дивизиа определяется как

􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀂳􀂦

􀂦

􀂳􀂦1

0

1

0 ~ ( ) ( )

~ ( ) ( )

exp

( )

( , ) exp ( ) ( ) 0 1

,

T

T j

j j

j

T j j

T

j j

j

p D j dt

q t p t

q t p t

dt

p t

I T T w t p t

􀀆 􀀆 ,

а индекс потоков количества Дивизиа 􀀐как

􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀂸􀂸

􀂹

􀂷

􀂨􀂨

􀂩

􀂧

􀀠􀂳􀂦

􀂦

􀂳􀂦1

0

1

0 ~ ( ) ( )

~ ( ) ( )

exp

~ ( )

~ ( )

( 0 , 1) exp ( )

~, T

T j

j j

j

T j j

T

j j

j

q D j dt

q t p t

q t p t

dt

q t

I T T w t q t

􀀆 􀀆

.

По построению

( , ) ( , ) ( 0 , 1)

,

0 1

~,

0 1

~ I v T T 􀀠I q D T T 􀂘I p D T T ,

где

~( )

~( )

( , )

0

1

0 1

~

V T

I v T T 􀀠V T 􀀐индекс потоков стоимости.

Приведенная пара индексов напоминает пару прямых индексов коли-

честв и цен. Однако, аналогия здесь неполная. Индекс цен Дивизиа имеет

тот же смысл, что и прямой индекс цен. Второй же индекс является индек-

сом потоков количества, в отличие от прямого индекса количеств. Заме-

тим, что индексы потоков количества Дивизиа часто называют просто ин-

дексами количеств. Тем не менее необходимо помнить о том, что они име-

ют иной смысл, чем обычные индексы количеств. Произведение пары ин-

дексов Дивизиа дает индекс потоков стоимости, а не индекс стоимостей,

как в случае прямых индексов. Наконец, оба индекса данной пары, как и их

произведение, являются переменными типа запаса.

В пределе при уменьшении шага по времени сцепленного индекса до

нуля для весьма широкого класса индексных формул (включающего все

рассмотренные выше) сцепленный индекс сходится к индексу Дивизиа.

Индексы Дивизиа обсуждаются, в частности, в [61􀀐67].