Экономические временные ряды допускают проведение операций сме-

ны шага по времени. Как в случае укрупнения шага, так и в случае его

уменьшения алгоритм операции зависит от того, проводится она с момент-

ным или интервальным рядом.

Пусть y обозначает крупный период (скажем, год), который содержит F

мелких (например, 12 месяцев или 4 квартала). Тогда укрупнение шага по

времени интервального временного ряда осуществляется суммированием

уровней исходного ряда, соответствующих _____укрупненному шагу по време-

ни,

(5.12) 􀂦􀀠

􀀠

F

i

I y xy i

1

,

или их осреднением

(5.13)

F

x

I

F

i

y i

y

􀂦􀀠

􀀠1

,

.

Несмотря на тривиальность приведенных формул, в условиях высокой

инфляции, характерной для российской переходной экономики, их исполь-

зование может порождать значительную неопределенность и снижать точ-

ность оценок. Дело в том, что эти операции являются корректными для

временных рядов показателей в реальном выражении, но, строго говоря, не

являются таковыми для рядов в номинальном выражении.

Под показателем в номинальном выражении понимается показатель в

стоимостном выражении в текущих ценах. Значения показателя в номи-

нальном выражении для различных периодов времени, вообще говоря, не-

сопоставимы, поскольку их различие может быть обусловлено изменения-

ми как количеств, так и цен. Показатель, на динамику которого изменение

цен не оказывает непосредственного влияния, называют показателем в ре-

альном выражении.

Некорректность операции суммирования данных в номинальном выра-

жении, соответствующих различным периодам времени, обусловлена тем,

что эти данные представлены в разных ценах и, следовательно, не являются

сопоставимыми. Поэтому можно говорить о неаддитивности во временной

области данных в текущих ценах. Всякий раз, когда производится сумми-

рование показателей в текущих ценах, соответствующих разным периодам,

результат получается не вполне корректным, однако степень его некор-

ректности тем выше, чем сильнее меняются цены между периодами, для

которых производится суммирование. Особенно сильно несопоставимость

таких данных проявляется в периоды высокой инфляции. Суммирование

показателей в текущих ценах может быть достаточно корректным в ста-

бильной экономике и совершенно некорректным в переходной.

Поясним это на следующем примере. Пусть годовой доход российской

семьи за 1992 г. составил 100 тыс. рублей в номинальном выражении. По-

требительские цены в течение 1992 г. выросли на порядок. Поэтому поку-

пательная способность этих 100 тыс. рублей _____существенно зависит от рас-

пределения поступления доходов в течение года, т. е. от структуры потока

стоимости в пределах крупного шага по времени. Если все доходы получе-

ны в начале года, то их покупательная способность будет на порядок выше,

чем если все они получены в конце года. Таким образом, в приведенном

примере годовые доходы в реальном выражении, соответствующие одним

и тем же 100 тыс. рублей в номинальном выражении, могут различаться на

порядок.

Вообще, если цены за период суммирования выросли в p раз и их рост

был монотонным, то одной и той же стоимостной оценке v в текущих ценах

могут соответствовать оценки в реальном выражении q, различающиеся в p

раз, т. е. q􀂏[q,q] , где q q􀂏[1, p] .

Несмотря на всю очевидность этой проблемы, операция суммирования

данных в текущих ценах широко используется в российской статистиче-

ской и аналитической практике. В частности, именно так рассчитываются

доходы для налогообложения, анализируется ход исполнения государст-

венного бюджета и т. п. Едва ли кому-нибудь придет в голову суммировать

стоимостные оценки в долларах с оценками в евро, однако суммирование

данных в рублях, соответствующих разным периодам времени, различия в

покупательной способности которых намного превышает различие в кур-

сах доллара и евро, производится повсеместно и почти никого не смущает.

По нашему мнению, случаи корректной работы в данной области в услови-

ях российской переходной экономики встречаются крайне редко.

Для моментных временных рядов операции смены шага по времени

производятся по-другому. Вместо операции суммирования (5.12) уровень

ряда с более крупным шагом определяется уровнем одного из менее круп-

ных периодов

(5.14) I y xy,m0 􀀠.

Например, уровень цен конца года определяется уровнем цен конца декаб-

ря этого года, а объем денежной массы по состоянию на начало года опре-

деляется объемом денежной массы по состоянию на начало января этого

года.

Для моментных временных рядов определена и операция осреднения,

которая используется для того, чтобы _____получить среднее значение показате-

ля типа запаса на более крупном интервале времени. В современной рос-

сийской практике для этого часто используют операцию (5.13), не делая

различий между интервальными и моментными рядами. Так, официальные

методики используют именно эту формулу для получения индексов сред-

них цен квартальной периодичности, необходимых для построения дефля-

торов, на основе индексов цен по состоянию на конец месяца. Если данные

с меньшим шагом по времени соответствуют середине шага, то формула

(5.13) является корректной. Если же данные соответствуют концу шага по

времени, то более точной является формула осреднения, основанная на

численном интегрировании по формуле трапеций

(5.15)

F

x x x

I

y F

F

i

y F y i

y

2 ,

1

1

1

2 1, ,

1 􀀎􀀎

􀀠

􀂦􀀐

􀀠

􀀐

.

Если же данные соответствуют иному моменту в пределах шага по време-

ни, то эта формула может быть легко модифицирована.

Может возникнуть необходимость провести осреднение моментного

показателя на большом шаге по времени, используя значения показателя

лишь на концах этого шага. Например, это может потребоваться при по-

строении индекса среднегодовых цен по индексу цен по состоянию на ко-

нец года с шагом по времени в один год в условиях высокой инфляции,

когда цены за год могут вырасти в несколько раз и даже по порядку вели-

чины. В этой ситуации предположение о линейном росте показателя, ле-

жащее в основе формулы трапеций и приводящее к тому, что среднее зна-

чение показателя равно полусумме его значений на концах интервала ос-

реднения, т. е.

(5.16)

2

t 1 t

t

I x x 􀀎

􀀠􀀐,

нельзя считать адекватным. Более адекватным в данном случае представля-

ется предположение об экспоненциальном росте показателя в пределах

шага по времени, что вместо (5.16) приводит к формуле

(5.17)

1

1

ln

􀀐

􀀐􀀐

􀀠

t

t

t t

t

x

x

I x x .

При малых изменениях осредняемого показателя результаты, получаемые

по обеим формулам, различаются слабо, но при больших изменениях раз-

личия могут быть весьма значительными. Так, при росте цен в 10 раз за год

(как в 1993 г. в России) оценка среднегодовых цен по формуле трапеций

(5.16) выше цен начала года в 5,50 раза, тогда как оценка по формуле (5.17)

выше цен начала года в 3,91 раза, т. е. первая оценка на 40% выше второй.

Заметим, что оценка (5.17) в этом случае на 24% превышает среднее гео-

метрическое уровней цен начала и конца года, равное 3,16, т. е. использо-

вание среднего геометрического в данном случае также не является кор-

ректным.

Если темпы инфляции не изменяются со временем, то выбор формулы

осреднения не играет роли. Адекватный выбор формулы важен лишь тогда,

когда темпы роста цен не являются постоянными. Заметим, что высокая

инфляция отличается непостоянством ее темпов (см., например, [56]), в том

числе и в российской переходной экономике [50]. Нестабильность динами-

ки показателей вообще характерна для развития кризисных ситуаций [57].

Обычно вопросам снижения точности при использовании формулы

(5.13) для осреднения моментных временных рядов внимания не уделяется.

Иногда при проведении осреднения уровней моментных временных

рядов может потребоваться использование весов. Так, для получения оцен-

ки среднегодового обменного курса рубля можно вместо формулы (5.13)

использовать формулу

(5.18)

􀂦

􀂦

􀀠

􀀠􀀠F

i

y i

F

i

y i y i

y

q

q x

I

1

,

1

, ,

,

где в качестве весов qy,i могут быть использованы, например, ежемесячные

объемы обменных операций. При получении оценки средних цен учет ин-

формации о структуре потока стоимости в пределах крупного шага по вре-

мени также позволяет получить более точную оценку, чем по формуле

(5.15).

Операции укрупнения шага по времени сопровождаются частичной по-

терей информации и поэтому не имеют обратных. В тех случаях, когда по

имеющемуся временному ряду необходимо получить ряд с меньшим шагом

по времени, можно использовать одну из операций интерполяции или ап-

проксимации данных, учитывая отмеченные выше обстоятельства. При

этом особенности динамики в пределах крупного шага по времени не могут

быть восстановлены.

Как уже отмечалось выше, официальные российские данные, представ-

ленные с разной периодичностью, зачастую не согласуются между собой,

поскольку они могут рассчитываться независимо, а не пересчетом из дан-

ных наиболее высокой частоты.