Если xt 􀀐уровни исходного временного ряда или показателя в базисной

форме, то показатель

(5.4)

􀀐1

􀀠

t

t

t x

I x

или

(5.4')

1

1

1

1

􀀐

􀀐

􀀐

􀀐

􀁣􀀠􀀐􀀠

t

t t

t

t

t x

x x

x

I x

характеризует динамику соотношений исходного экономического показа-

теля xt между различными текущими периодами и непосредственно пред-

шествующими им. Про показатель (5.4) говорят, что он представлен в цеп-

ной форме. Первую из этих форм называют темпом роста, а вторую 􀀐

темпом прироста.

Иногда бывает удобно темпы роста из месячного или квартального вы-

ражения переводить в годовое выражение (annualized quarter to quarter rate

of change и т. п.) или наоборот. Так, если It 􀀐темп роста (5.4) в помесячном

выражении, то соответствующий ему темп роста в годовом выражении

имеет вид

(5.5) 􀀋􀀌12

t

a

It 􀀠I ,

а если It􀁣􀀐темп прироста (5.4'), то

(5.5') 􀁣􀀠􀀋1􀀎t􀁣􀀌12 􀀐1

a

It I .

Темп в годовом выражении показывает, какой рост показателя имел бы

место за год, если бы на протяжении всего года сохранялись темпы теку-

щего месяца. Перевод в такую форму бывает полезным для сопоставления

данных разной периодичности. Например, если на протяжении первых ме-

сяцев календарного года установились некоторые темпы инфляции, то пе-

ревод в годовое выражение позволяет понять, например, соответствуют ли

они в первом приближении годовым темпам инфляции, положенным в ос-

нову при составлении бюджета на этот год. Данное преобразование являет-

ся взаимно однозначным.

Ниже будем приводить только формулы темпов роста, а соответствую-

щие им формулы темпов прироста будем опускать.

Смысл представления данных в цепной форме состоит в том, чтобы из-

бавиться от тех же недостатков исходного показателя, от которых позволя-

ет избавиться представление данных в базисной форме. Показатели в цеп-

ной форме являются безразмерными и имеют естественный масштаб. Кро-

ме того, переход _____к цепной форме устраняет экспоненциальный тренд ис-

ходного ряда. Поэтому можно сопоставлять цепную форму представления

для разных исходных показателей, в том числе и в случае различного изме-

нения со временем их масштабов.

Операция (5.4) перевода в цепную форму имеет обратную операцию

(5.6) 􀂖

􀀠􀀎

􀀠

t

i t

xt xt Ii

0 1

0 ,

где t0 􀀐период, предшествующий первому периоду временного ряда в цеп-

ной форме. Операция (5.6) позволяет на основе цепной формы представле-

ния экономического временного ряда восстановить базисную форму с точ-

ностью до произвольной ненулевой мультипликативной константы xt0 ,

т. е. с точностью до операции нормировки.

Утрата одной мультипликативной константы, присущая всем операциям

типа дифференцирования, не является большим недостатком данного ме-

тода, поскольку в задачах анализа экономической динамики такая констан-

та, как правило, не играет роли.

Всякое вычисление на компьютере является приближенным, а его ре-

зультаты характеризуются некоторой погрешностью. Еще важнее, что при

публикации в статистических справочниках данные округляются, что при-

водит к частичной потере информации. Поэтому по опубликованным дан-

ным в цепной форме восстановить данные в базисной форме можно лишь с

некоторой погрешностью, которая растет с увеличением длины временного

ряда. Это означает, что операция (5.6) восстановления по опубликованным

данным в цепной форме данных в базисной форме, строго говоря, не явля-

ется обратной для операции получения цепной формы (5.4).

Эту проблему на практике можно было бы легко обойти, публикуя дан-

ные с необходимой точностью. Однако в современной отечественной ста-

тистической практике очень часто обращают внимание лишь на абсолют-

ную погрешность данных, не учитывая их относительной погрешности.

Часто данные публикуют с одним знаком "после запятой", вне зависимости

от числа знаков "до запятой". В результате при изменении показателей на

несколько порядков (что в условиях высокой инфляции, сопровождающей

российский переходный период, не является редкостью) относительная

погрешность изменяется в той же пропорции и точность данных в области

низких значений может оказаться неудовлетворительной. В официальной

публикации могут соседствовать значения показателя, скажем, 0,1 и 4956,3

(это 􀀐реальный пример), при этом считается, что они представлены с оди-

наковой точностью. Заметим, что на разных страницах официальной стати-

стической публикации можно встретить значения одного и того же показа-

теля, представленные с разной точностью. Также можно в одной таблице

встретить близкие значения одного показателя для соседних периодов вре-

мени, приведенные с разной точностью.

Иллюстрация потери информации при округлении приведена на

рис. 5.1, использованы официальные данные по динамике индексов цен

производителей промышленной продукции за год с ноября 1995 г. по ок-

тябрь 1996 г. На рис. 5.1,а хорошо видно, что множество значений индекса

в цепной форме 􀀐дискретно, динамика имеет ступенчатую форму, что сви-

детельствует о чрезмерности округления. На рис. 5.1,б показано накопле-

ние погрешностей при переводе данных из цепной формы в базисную. Все-

го за один год накопленная погрешность округления составляет 7,4% от

изменения уровня показателя. Разумеется, далеко не всякий официальный

показатель и не на любом интервале времени публикуется с такой большой

погрешностью округления, но забывать об этой проблеме при анализе офи-

циальных данных было бы опрометчиво.

% за месяц

а

% к октябрю 1995 г.

б

Рис. 5.1. Иллюстрация потери информации в результате чрезмерного ок-

ругления при публикации данных (индекс цен производителей промыш-

ленной продукции):

а) исходные данные темпов прироста за месяц с ноября 1995 г. по

октябрь 1996 г.

б) накопление погрешности округления при переводе в базисную

форму (1 􀀐ряд, полученный последовательным перемножением

показателей в цепной форме, 2 􀀐то же плюс-минус погрешность

округления)

Таким образом, операция (5.4) перевода в цепную форму имеет обрат-

ную операцию с точностью до мультипликативной константы и округле-

ния.

Серьезным недостатком операции (5.4) перевода в цепную форму явля-

ется увеличение масштаба нерегулярной составляющей, а для рядов с ша-

гом по времени меньше года 􀀐еще и увеличение масштаба календарной и

сезонной составляющих. Иллюстрация этого эффекта приведена на

рис. 5.2. В этом и в нескольких последующих примерах будем использовать

временной ряд индекса российского промышленного производства в поме-

сячном выражении, который рассчитывался автором совместно с Центром

экономической конъюнктуры при Правительстве РФ (методика его по-

строения описана в [37]).

январь 1990 г. трендовой

составляющей = 100

а

% за месяц

б

Рис. 5.2. Иллюстрация эффекта резкого увеличения масштаба календарной,

сезонной и нерегулярной составляющих динамики при переходе от базис-

ной формы представления показателя (а) к цепной (б):

1 􀀐исходный ряд

2 􀀐его компонента тренда и конъюнктуры

Поэтому цепную форму представления целесообразно использовать

лишь для компоненты тренда и конъюнктуры (или для ее составляющих),

если исходный временной ряд содержит прочие составляющие динамики

заметного масштаба (как на рис. 5.2), т. е. строить цепные показатели в ви-

де

(5.7)

1

~

~

􀀐

􀀠

t

t

t x

I x ,

где t x ~ 􀀐уровни компоненты тренда и конъюнктуры.

Если же цепную форму представления получать для исходного ряда, то

проблема резкого увеличения масштаба неинформативных составляющих

динамики (т. е. ухудшения соотношения сигнал/шум) при переходе от ба-

зисной формы представления показателя к цепной становится весьма серь-

езной для интервальных рядов в квартальном и, особенно, месячном выра-

жении. Очень часто по этой причине данные для таких рядов в цепной

форме не являются сопоставимыми.