Наибольшее развитие получило страхование жизни. Матема

тические модели такого страхования мы и рассмотрим ниже более

подробно. Договор страхования жизни может быть обязательным

(в силу действия определенного закона) или добровольным (по вза

имному волеизъявлению страховщика и страхователя), кратко$

срочным (как правило, на один год) или долгосрочным.

Основным источником случайности в страховании жизни явля

ется неопределенность момента смерти отдельного человека. Одна

ко в случае, когда одновременно у одного и того же страховщика

страхуется большая однородная (по возрасту, полу, типу профес

сии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в силу закона

больших чисел можно говорить об у с т о й ч и в о с т и о т н о с и

т е л ь н ы х ч а с т о т и рассматривать продолжительность жизни

как неотрицательную случайную величину X с функцией распре

деления F(x) = P{X < x}. В актуарной математике работают с так

называемой функцией выживания

s(x) = P{X 􀀮 x} = 1 – F(x),

которая равна вероятности того, что человек из данной однородной

группы проживет не менее x лет. Функция выживания предполага

ется монотонно убывающей (иначе в определенных интервалах

времени смерть будет невозможна) и непрерывной (иначе возмож

ны моменты, в которые смерть наступает с положительной вероят

ностью). Кроме того, функция выживания должна удовлетворять

всем свойствам, которые следуют из того, что F(x) = 1 – s(x) являет

ся ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я случайной величины X.

Пусть

T(x) = X – x —

остаточное время жизни человека в возрасте x лет. Символом

tpx = P{T(x) 􀀮 t}

обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет про

живет еще не менее t лет.

По определению условной вероятности

0

0

{ } ( )

{ ( ) } { | } .

{ } ()

x t

t x

x

X x t p s x t

p Tx t X x tX x

X x p sx

P

P P

P

+ + +

= 􀀮 = 􀀮 + 􀀮 = 􀀮 = = ��

В таблицах продолжительности жизни рассматривается

группа новорожденных одного пола, проживающих в одинаковой

местности, в количестве l0 чел. Пусть Xk — продолжительность

жизни kго человека из данной группы (k = 1, 2, … , l0). Количество

доживших до возраста x обозначим L(x), и в таблицах продолжи

тельности жизни приводится математическое ожидание случайной

величины L(x):

0 0

0

1 1

( ) { } ( ) ( )

l l

x k

k k

l Lx X x sx lsx

= =

=M =ΣP 􀀮 =Σ = .

Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для город

ского населения Российской Федерации в 1993 г. приведен в

табл. 18.

Т а б л и ц а 18

Фрагмент таблицы продолжительности жизни

городского населения Российской Федерации в 1993 г.

Женщины Мужчины Женщины Мужчины

x

lx s(x) lx s(x)

x

lx s(x) lx s(x)

0 100 000 1,00000 100 000 1,00000 55 87 007 0,87007 64 338 0,64338

1 98 324 0,98324 97 822 0,97822 60 82 469 0,82469 54 864 0,54864

5 97 922 0,97922 97 416 0,97416 65 76 558 0,76558 44 222 0,44222

10 97 790 0,97790 97 080 0,97080 70 67 118 0,67118 32 706 0,32706

15 97 623 0,97623 96 764 0,96764 75 53 628 0,53628 21 417 0,21417

20 97 278 0,97278 95 804 0,95804 80 36 986 0,36986 11 814 0,11814

25 96 832 0,96832 94 194 0,94194 85 20 192 0,20192 5113 0,05113

30 96 296 0,96296 92 009 0,92009 90 7607 0,07607 1571 0,01571

35 95 572 0,95572 89 008 0,89008 95 1591 0,01591 297 0,00297

40 94 474 0,94474 85 003 0,85003 99 237 0,00237 48 0,00048

45 92 831 0,92831 79 644 0,79644 100 130 0,00130 28 0,00028

50 90 335 0,90335 72 722 0,72722 110 0 0,00000 0 0,00000

Простейший вид краткосрочного страхования

жи з н и заключается в следующем. Страхователь (некоторый че

ловек) платит страховщику (страховой компании) страховую

премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается выплатить

наследникам страхователя страховую выплату (или страховое

пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в течение года (и не

платить ничего в противном случае).

Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много

больше страховой премии.